《高等代数》是北京大学数学科学学院(由数学、概率统计、科学与工程计算、信息科学、金融数学五个系组成)本科一年级的三门最重要的基础课之一,为期一学年,教学时间30周,复习、考试4周,总共10学分(每学期5学分)。
每年学生约260人(包括本院学生、元培班学生和重修的学生),分成两个大班,由两个主讲教师依照同样的教学计划(包括进度、内容、习题和作业的的安排)同步授课(每周4学时),同时配备有四位助教上习题课(每周2学时)和批改作业。主讲教师负责安排习题课内容以及指导助教的工作。
每学期期中、期末考试各一次,采用统一的考题和统一的评分标准。考试分数为百分制。期末总成绩为期中成绩的40%加上期末成绩的60%再减去学生未交作业的次数。
本课程的内容包括:线性方程组,矩阵,行列式,双线性型与二次型,线性空间,线性变换,具有度量的线性空间(欧氏空间、酉空间、四维时空空间、辛空间),Jordan标准形,有理整数环,一元和多元多项式环,多线性代数(张量积、张量、外代数)的初步理论等。本课程不仅注重讲授代数学的基本知识,更强调对于学生的“三个基本训练”和“一个初步训练”,即、代数学基本思想的训练、代数学基本方法的训练、线性代数基本计算的训练以及综合运用分析、几何、代数方法处理问题的初步训练。
课程负责人:赵春来 教 授
赵春来,1945年生,河北人。1962年至1967年本科就读于北京大学数学力学系,1969年至1978年在沈阳市作中学教员,1978年至1984年在北京大学数学系作基础数学方向(硕士、博士)研究生,师从聂灵沼教授和丁石孙教授,1984年获博士学位。 |
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研究方向为代数数论,是当代基础数学最活跃、难度最大的分支之一。发表论文6篇,主要集中于椭圆曲线的BSD 猜想(七个百万美元悬赏问题之一)。以前人们只对于极特殊的同余数椭圆曲线(其整数参数的素因子个数不超过3)证明过BSD猜想完全成立,本人在一套全新的方法的基础上对于一系列参数的素因子个数可以任意多的同余数椭圆曲线完全证明了该猜想。这套方法和结果得到了国际上著名数学家、世界数学家大会常任理事、英国剑桥大学数学系首席教授John Coates(费马大定理的证明者A. Wiles的博士导师)等人的高度评价。 2003年获教育部科技进步2等奖。 曾教授过九门(本科生和研究生)课程。教学中注重知识的背景和主要思想的介绍、直观解释以及与其他课程的联系。上课前认真备课,寻求最容易被学生接受的讲授路线,注意统一课程中各部分知识的联系与区别,寻求适当的实例用来揭示各种抽象的概念,使得学生能准确理解课程的内容,培养提高学生在抽象思维中的直观能力。在授课过程中,随时注意学生的表情,发现学生感到困惑时,及时放慢速度,或请学生说明困难之处后,细致解释。讲课清晰生动,受到学生的好评。高等代数被评为2003年北京市精品课程。1986年获得北京市高教系统教书育人、服务育人先进工作者;1999年获建设银行湖北分行尊师重教优秀博士生导师奖,2003年获北京大学教学优秀奖、《关于同余数椭圆曲线的BSD猜想的研究》获教育部科技进步二等奖,2004年获北京市优秀教师奖。 |
第一学期 授课内容
第01周 第一章 代数学的经典课题
§1 若干准备知识
§2 一元高次代数方程的基本知识
第02周 §3 线性方程组
第二章 向量空间与矩阵
§1 m维向量空间
第03周 §1 m维向量空间
§2 矩阵的秩
第04周 §3 线性方程组的理论课题
§4 矩阵的运算
第05周 §5 n阶方阵
第06周 §6 分块矩阵
第三章 行列式
§1 平行六面体的有向体积
§2 n阶方阵的行列式
第07周 §2 n阶方阵的行列式
§3 行列式的初步应用
第08周 §4 行列式的完全展开式
第09周 第四章 线性空间与线性变换
§1 线性空间的基本概念
第10周 §1 线性空间的基本概念
§2 子空间与商空间
第11周 §2 子空间与商空间
第12周 §3 线性映射与线性变换
第13周 §3 线性映射与线性变换
§4 线性变换的特征值与特征向量
第14周 §4 线性变换的特征值与特征向量
§5 商空间中的诱导变换
第15周 第五章 双线性函数与二次型
§1 双线性函数
§2 二次型
第16周 复习考试
第17周 复习考试
第二学期 授课内容
第01周 §4 正定二次型
第02周 第六章 带度量的线性空间
§1 欧几里得空间的定义和基本性质
第03周 §2 欧几里得空间中得特殊线性变换
§3 酉空间
第04周 §3 酉空间
第05周 §4 四维时空空间与辛空间
第七章 线性变换的Jordan标准形
§1 幂零线性变换的Jordan标准形
第06周 §2 一般线性变换的Jordan标准形
第07周 第八章 有理整数环
§1 有理整数环的基本概念
第08周 §2 同余式
§3 模m的剩余类环
第09周 第九章 一元多项式环
§1 一元多项式环的基本理论
第10周 §1 一元多项式环的基本理论
第11周 §2 C, R, Q上多项式的因式分解
第12周 §3 实系数多项式根的分布
第十章 多元多项式环
§2 对称多项式
第13周 §2 对称多项式
§3 结式
第14周 第十二章 张量与外代数
§1 多重线性映射
§2 线性空间的张量积
第15周 §3 张量
第16周 复习考试
第17周 复习考试
《高等代数简明教程》(上、下),蓝以中教授编著, 北京大学出版社2002
(北京大学数学教学系列丛书,该书为普通高等教育“十五”国家级规划教材及2002年北京市教育精品教材重点项目)
主要教学参考书
《高等代数》,北京大学几何与代数教研室代数小组编,高等教育出版社1991(第二版)
(高等教育出版社,1991年,第二版,曾获国家优秀教材一等奖)
《高等代数》(上、下), 丘维声教授编著,高等教育出版社1996
(高等教育出版社1996年出版,国家“九五”重点教材)