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数学物理方法课程是物理、天文、地质、大气、海洋、力学、环境等专业学科的重要公共基础课。它包括复变函数和数学物理方程两部分。前者系统介绍解析函数的基本性质及其应用;后者主要包括分离变数法和格林函数以及最常用的两类特殊函数。
本课程以讲授古典数学物理中的常用方法为主,适当介绍近年来的新发展,为后继课程和专业课程有关的数学物理问题做准备,起着承上启下的作用。
本课程的特色在于数学和物理紧密结合,既非单纯的数学课程,也非单纯的物理课程,既照顾到了一定的数学理论深度和系统性,又照顾到了课程本身所应具有的实用性。通过本课程的学习,使学生不仅学习到有关的基础知识,而且引导学生通过对具体物理过程的具体分析,抓住起主要作用的因素,在许可的条件下作简化近似,建立数学模型,求解分析,以达到对该过程的深入了解,引导学生从纯数学的学习转到将数学物理紧密结合,将数学应用于实际物理问题,培养学生的理论思维、分析问题和解决问题能力。
本课程设有A、B两种类型:
A类课程(6学分)主要内容包括:1. 解析论概要:微积分学、无穷级数、解析延拓、多值函数;2. 解析函数论的应用:常微分方程级数解法和留数定理计算定积分;3. 数学物理方程的主要解法:分离变量法、积分变换、Green函数;4. 特殊函数及其应用。
B类课程(4学分)主要内容包括:1. 解析函数论概要及其主要应用:2. 数学物理方程的主要解法:分离变量法、积分变换;3. 特殊函数及其应用。
课程负责人:吴崇试 教授
吴崇试,男,北京大学物理学院教授、博士生导师。曾兼任中国高等科学技术中心协会成员、中国科学院理论物理研究所客座研究员和兰州重离子加速器国家实验室原子核理论中心客座研究员。1996年被推举为高等数学物理方法教学研究会理事会主任委员。1993年起享受政府特殊津贴。 |
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吴崇试进行理论物理的教学和科学研究工作.著有《数学物理方法》(北京市高等教育精品教材、{象通高等教育“十五”国家级规划教材);主编并撰写《数学辞海》的特殊函数部分.合作编著有《我国赴美研究生考试CUSPEA历届试题集解(1980-1984)》、《CUSPEA十年》及《数学物理方法习题集》.倡议并参与了《计算机辅助大学物理教学系列软件一数学物理方法课件》的制作(高等教育出版社1995年出版),获国家教委CAI教学二等奖、冶金部CAI教学一等奖及工业院校协作区CAI教学一等奖论文《均匀带电圆盘的静电势问题》获首届全国大学物理教学优秀论文一等奖. 吴崇试教学认真负责,积极投入,严格要求,效果良好.在工作中注意调动学生的学习积极比,鼓励学生独立思考,做到教学相长努力钻研教学内容,不断改进教学方法与教学手段,承担过CAI 的研制项目及校内的教学研究项目。1995年,获北京大学1994-1995年学年度教学优秀奖。1999 年获北京大学桐山奖教金. 吴崇试从事原子核结构理论方面的研究I耳乍,主持和参加过多项国家自然科学基金研究项目以及国家教委博卜点基金研究项目.在理论研究C作中注意紧密联系实验,先后在国内外核心学术刊物上发表及合作发表论文百余篇.部分研究工作,曾渡引起国内外同行的密切关注.科研项目《原子核又上关联及高自旋态的研究》,获北京大学首届科学研究二等奖(1986年),《高自旋与超形变核态的研究》项目,获1992年国家教委科技进步奖(甲类二等). |
本教学大纲由教育部物理学与天文学指导委员会、专业物理与应用物理指导组讨论通过。(1998年)。
本课程物理专业教学大纲(90学时,包括习题课)
一、课程的目的与任务
本课程为物理系物理专业所开设,也可供应用物理专业参考。
本课程在高等数学(一元和多元微积分、幂级数和Fourier级数、微分方程、场论、线性代数)和普通物理(力学、热学、电学)的基础上,以讲授古典数学物理中的常用方法为主,适当介绍近年来的新发展,为后继的基础课程和专业课程研究有关的数学物理问题作准备,也为今后工作中遇到的数学物理问题的求解提供基础。
二、内容和参考学时
1. 复数和复变函数 (2学时)
复数及其运算规则 复数的几何表示 复数序列 复变函数 复变函数的极限和连续 无穷远点
2. 解析函数 (4学时)
导数 解析函数 初等函数 多值函数{z-a} 多值函数ln (z-a) 解析函数的几何性质
3. 复变积分 (4学时)
复变积分 单连通区域的Cauchy定理 复连通区域的Cauchy定理 Cauchy积分公式 解析函数的高阶导数公式
4. 无穷级数(8学时)
复数级数 函数级数 含参量的积分的解析性 幂级数 解析函数的Taylor展开 Taylor级数求法举例 解析函数的Laurent展开
级数求法举例 单值函数的孤立奇点
5. 二阶线性常微分方程的幂级数解法 (4学时)
二阶线性常微分方程的常点和奇点 在方程常点邻域内的解 在方程正则奇点邻域内的解 Bessel方程的解
6. 解析延拓 (1学时)
解析函数的零点孤立性和解析函数的唯一性 解析延拓
7. 留数定理及其应用 (6学时)
留数定理 有理三角函数的积分 无穷积分 含三角函数的无穷积分 实轴上上有奇点的情形 多值函数的积分 留数定理的其它应用
8. Gamma 函数 (3学时)
Gamma函数的定义 Gamma函数的基本性质 Psi函数 B函数
9. Laplace变换 (4学时)
Laplace变换 Laplace变换的基本性质 Laplace变换的反演 普遍反演公式
10. 数学物理方程和定解条件 (4学时)
弦的横振动方程 杆的纵振动方程 热传导方程 稳定问题 边界条件与初始条件 内部界面上的连接条件 定解问题的适定性
11. 线性偏微分方程的通解 (4学时)
线性偏微分方程的解的叠加性 常系数线性齐次偏微分方程的通解 常系数线性非齐次偏微分方程 特殊的变系数线性齐次偏微分方程 波动方程的行波解
12. 分离变量法 (4学时)
两端固定弦的自由振动 矩形区域内的稳定问题 多于两个自变量的定解问题 两端固定弦的强迫振动 非齐次边界条件的齐次化
13. 正交曲面坐标系 (4学时)
正交曲面坐标系 正交曲面坐标系中的Laplace算符 Laplace算符的平移、转动和反射不变性 Helmholtz方程在柱坐标系下的分离变数 Helmholtz方程在球坐标系下的分离变数 圆形区域
14. 球函数 (7学时)
Legendre多项式 Legendre多项式的微分表示 Legendre多项式的正交完备性 Legendre多项式的生成函数 Legendre多项式的递推关系 连带Legendre函数和球面调和函数
15. 柱函数 (7学时)
Bessel函数的基本性质 Neumann函数 Bessel方程的本征值问题 含Bessel函数的积分 Hankel函数 虚宗量Bessel函数 半奇数阶Bessel函数 球Bessel函数
16. 分离变数法总结 (4学时)
内积空间和函数空间 自伴算符的本征值问题 Sturm--Liouville型方程的本征值问题 从Sturm--Liouville型方程本征值问题看分离变数法
17. 积分变换的应用 (2学时)
Laplace变换 Fourier变换 小波变换的基本思想
18. 非齐次方程与Green函数方法} (8学时)
函数 Green函数的概念 常微分方程初值问题的Green函数 稳定问题Green函数的一般性质 三维无界空间Helmholtz方程的Green函数 圆内Poisson方程第一边值问题的Green函数 波动方程或热传导方程的Green函数
19. 变分法初步 (4学时)
泛函的概念 泛函的极值 泛函的条件极值 微分方程定解问题和本征值问题的变分形式 Ritz方法
20. 数值解法 (2学时)
数值微商 二阶偏微分方程的有限差分法
21. 结束语 (4学时)
二阶线性偏微分方程的分类 数学物理方程的反问题 非线性偏微分方程问题
三、几点说明
1. 对于本大纲所列内容与学时分配建议,教师可根据各校实际情况适当取舍调整。
2. 本课程包括复变函数和数学物理方程两部分。前者系统介绍解析函数的基本性质及其应用;后者主要包括分离变量法和Green函数方法以及最常用的两类特殊函数。基本内容的学时应予保证。
3. 在保证基本要求的基础上,应适当介绍一些近年来发展起来的新内容、新方法,如反问题、非线性问题和小波变换等。
4. 非线性偏微分方程问题可以KdV方程为例。
5. 建议安排9次习题课,内容分别为:解析函数和多值函数;解析函数的幂级数展开;Gamma$函数和Laplace变换;留数定理及其应用;常微分方程级数解法;分离变量法;球函数;柱函数;Green函数。
本课程应用物理专业教学大纲(54学时,不包括习题课)
一、课程的目的与任务
本课程为物理系应用物理专业所开设。
本课程在高等数学(一元和多元微积分、幂级数和Fourier级数、微分方程、场论、线性代数)和普通物理(力学、热学、电学)的基础上,以讲授古典数学物理中的常用方法为主,适当介绍近年来的新发展,为后继的基础课程和专业课程研究有关的数学物理问题作准备,也为今后工作中遇到的数学物理问题的求解提供基础。
二、内容和参考学时
1. 复变函数及其导数 (2学时)
复变数及复变函数 导数 解析函数
2. 复变积分 (2学时)
复变积分 Cauchy定理 不定积分 Cauchy积分公式
3. 无穷级数 (6学时)
复数级数 函数级数 幂级数 Taylor展开 Laurent展开 单值函数的孤立奇点 留数定理
4. 常微分方程的幂级数解法 (6学时)
常微分方程的常点和奇点 在方程常点邻域内的解 在方程正则奇点邻域内的解 Sturm--Liouville型方程的本征值问题
5. 数学物理方程和定解条件 (6学时)
弦的横振动方程 热传导方程 静电场的Poisson方程和Laplace方程 定解条件 二阶线性偏微分方程的分类与化简
6. 分离变量法 (10学时)
线性方程的叠加原理 两端固定弦的自由振动 两端固定弦的强迫振动 有界杆的导热问题 矩形区域内的稳定问题 圆形区域 非齐次边界条件的齐次化 Green函数的基本概念(基本解)
7. 积分变换的应用(4学时)
Laplace变换 Fourier变换
8. Legendre多项式与球函数 (6学时)
球坐标系中Laplace方程的分离变量 Legendre方程及连带Legendre方程 Legendre多项式的基本性质(微分表示、积分表示、生成函数、递推关系、正交完备性) 按Legendre多项式展开 连带Legendre函数和球面调和函数
9. 柱函数 (6学时)
柱坐标系中Laplace方程和Helmholtz方程的分离变量 Bessel函数的基本性质(递推关系、正交完备性) 按Bessel函数展开
虚宗量Bessel函数 球Bessel函数(初等函数表示、正交完备性) 按球Bessel函数展开
10. 数值解法(2学时)
数值微商 二阶偏微分方程的有限差分法
11. 非线性偏微分方程问题 (2学时)
KdV方程的导出 浅水波的孤波解
三、几点说明
1. 对于本大纲所列内容与学时分配建议,教师可根据各校实际情况适当取舍调整。
2. 本课程以数学物理方程为主,着重介绍分离变量法和最常用的两类特殊函数。
3. 按照数学物理方程部分的要求,选择复变函数部分的教学内容,以提供必要的数学基础。
在费时不多的条件下适当照顾数学的系统性。数学阐述中,以正确理解、熟练应用定理结论为主,主要定理给出证明,但严格性只作适当要求。
4. 习题课可按实际需要安排。
数学物理方法(第二版), 普通高等教育“十五” |
- 郭敦仁,《数学物理方法》(第二版),高等教育出版社,1991年
- 梁昆淼,《数学物理方法》(第三版),高等教育出版社,1998年
- 《数学物理方法解题指导》,胡嗣柱编,高等教育出版社1998年
- 《数学物理方法》,姚端正编,科学出版社1998年
- 《复变函数引论》,普里瓦洛夫,北京大学数学力学系数学分析教研组译,商务印书馆,1953年
- 沙巴特,拉甫伦捷夫,《复变函数论方法》,施祥林,夏定中译,人民教育出版社,1956年
- 《数学物理方程》,吉洪诺夫,萨马尔斯基,黄克欧等译,人民教育出版社,1961年
- A Course of Modern Analysis, E. T. Whittaker and G. N. Watson, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1927
- An Introduction to the Theory of Infnite Series, T. J. I’A. Bromwich, Macmillan, London, 1931
- Functions of a Complex Variable, T. M. Macrobert, Macmillan, London, 1954
- Basic Complex Analysis, Freeman}, J. E. Marsden, San Fransisco, 1973
- Advanced Calculus for Applications}, F. B. Hildebrand, Prentice-Hall (Englewood Cliffs, New Jersey, USA), 1976
- C. J. Tranter, Integral Transforms in Mathematical Physics (3rd ed.), C. J. Tranter, Wiley, New York, 1966 《数学物理中的积分变换》,特兰台尔,潘德惠译,高等教育出版社,1959年
二、专著和工具书
- 《特殊函数概论》,王竹溪,郭敦仁,科学出版社,1965年
- Higher Transcendental Functions, A. Erdlyi McGraw-Hill, New York, 1953 《高级超越函数》,爱尔台里主编,张致中译,科学技术出版社,1957年
- The Theory of Spherical and Ellipsoidal Harmonics}, E. W. Hobson, Cambridge Univ. Press,Cambridge, 1931
- A Treatise on the Theory of Bessel Functions, G. N. Watson, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1944
- Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, M. Abramowitz and I. A. Ategun, U. S. National Bureau of Standards, Washington, D. C., 1965
- Table of Integrals, Series, and Products} (corrected and enlarged edition), I. S. Gradshteyn and I.\ M.\ Ryzhik, Academic, New York, 1980
- Tables of Integral Transforms}, A. Erd lyi, McGraw-Hill, New York, 1954
三、进一步参考书目
- Methods of Methematical Physics}, R. Courant and D. Hilbert, Interscience Publishers, New York, 1962
《数学物理方法》,柯朗,希尔伯特,第一卷,钱敏,郭敦仁译,科学出版社,1958年;第二卷,熊振翔,杨应辰译,科学出版社,1977年 - Theory of Cpmplex Functions, R. Remmert, Springer-Verlag, New York, 1991
- The Theory of Functions, E. C. Titchmarsh, Oxford Univ. Press, Oxford, 1962 (corrected) 《函数论》,梯其玛希,吴锦译,科学出版社,1964年.
- Theory and Application of Infinite Series, K. Knopp, Dover, New York, 1989
- Operational Mathematics, R. V. Churchill, McGraw-Hill, New York, 1958
- Methods of Theoretical Physics, P. M. Morse and H. Feshbach, McGraw-Hill, New York, 1953
- Fourier Series and Boundary Value Problems, R. V. Churchill, McGraw-Hill, New York, 1941
- Differential Equations of Mathematical Physics, N. S. Koshlyakov, M. M. Smirnov, and E. B. Gliner, North-Holland Publishing Co., Amsterdam, 1964
- Mathematical Methods with Applications to Problems in the Physical Sciences, T. C. Bradbury, Wiley, New York, 1984
- Mathematical Methods of Physics, J. Mathews and R. L. Walker, Benjamin, New York, 1970
- Mathematical Methods in the Physical Sciences, M. L. Boas, Wiey, New York, 1983
- Introductory Eigenphysics, C. A. Croxton, Wiley, New York, 1974《数学物理方程导论》,克罗克斯顿,戴安英,钱伯初译,高等教育出版社, 1982年
- Special Functions, E. D. Rainville, Macmillan, New York, 1960
- 《勒襄特函数论》,莫叶,山东大学出版社,1988年
- Applied Analytical Mathematics for Physical Scientists, J. T. Cushing, Wiley, New York, 1975
- Calculus od Variations, G. A. Bliss, Open Court, La Salle, Illinois, 1925
- Dictionary of Conformal Representations}, H.\ Kober, Dover, 1957
- Differentialgleichungen, "sungsmethoden und"sungen, E. Kamke, Band 1, Gew hnliche Differentialgleichungen, Akademische Verlagsgesellschaft, Leipizig, 1944
参 考 书 目
一、基本参考书目